Yazı-Tura, Polinomlar ve Tasarım

Hileli bir parayla yazı-tura oynayalım, ve diyelim paranın yazı gelmesi ihtimali $p$. Eğer $p=0.5$ olsaydı paramız hilesiz olurdu ama bizimkisi değerini bilmediğimiz bir $p$. Misal  $p=0.3$ ise parayı 10 kere attığımızda ortalamada 3 kere yazı gelir, 20 kere atarsak 6 kere yazı gelir. Yani yazı sayısına $Y_n$ dersek, $Y_n$ yaklaşık $np$ olmalıdır. Başka şekilde ifade edelim $$\frac{Y_n}{n} \sim p$$ olmalıdır ve elbette $n$ sonsuza giderken $\frac{Y_n}{n}$ dizisi $p$’ye yaklaşır, tam bir aklıselim ve her aklıselim gibi o kadar mantıklı ki neredeyse sözünü etmeye değmeyecek kadar manasız.

Şimdi elimizde bir de tek değişkenli sürekli bir $f$ fonksiyonu olsun ve $\frac{Y_n}{n}$ dizisini bu fonksiyona koyalım. Dizimiz $p$’ye yaklaştığından ve fonksiyonumuz sürekli olduğundan $f(\frac{Y_n}{n})$ dizisi de $f(p)$’ye yaklaşır. Elinizi biraz hesap kitaba bulaştırıp $n$ kere yazı-tura atıldığında $k$ kere yazı gelme ihtimalinin $$ \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ olduğunu bulabilirsiniz, buradan da $f(\frac{Y_n}{n})$’nin yaklaşık değerinin $$ \sum_{k=0}^{n} f(\frac{k}{n}) \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ olduğu çıkar. Bu sevimsiz eşitlik her $p$ için geçerli, ve dahası eşitliğin sağ tarafındaki ifade $p$ cinsinden bir polinom. Yanisi, rastgele sürekli bir fonksiyona şıpadanak bir polinomla yaklaştık. Her sürekli fonksiyona sınırlı bir aralıkta polinomlarla yaklaşılabileceği gerçeğine Weierstrass Teoremi denir. Biz bunu olasılıkla kanıtlamakla kalmadık, fonksiyona yaklaşan polinomları da adıyla sanıyla bulduk, bu polinomlara da Bernstein polinomu denir.

Matematikçi deliler kendi aralarında eğleniyor diye düşünüyorsanız, tam olarak biz nerede yanlış yapıyoruz noktasındasınız. 1960’larda daha bilgisayar denen şey bile doğru dürüst ortada yokken Citroen’den De Casteljau ve Renault’dan Bezier adlı iki mühendis, tasarımcıların bilgisayarlarda serbest şekilleri nasıl ifade edebileceği üzerinde çalışırlarken dönüp dolaşıp Bernstein polinomlarına geliyorlar. Düzlemde $P_0, \dots P_3$ adında 4 nokta seçip bunları doğru parçalarıyla birleştirin, sonra bu grafiği veren fonksiyona Bernstein polinomlarıyla yaklaşın, ortaya çıkan eğriye Bezier eğrisi denir. Bu noktaları sağa sola çekerek eğrinin tipini değiştirebilir, istediğiniz serbest formu oluşturabilirsiniz.

cub_bez_curve

Bunun interaktif bir uygulamasına da bakmanızı tavsiye ederim. Bu yöntem bilgisayar destekli dizaynda (CAD: Computer Assisted Design) hala kullanılıyor.

Biz nerede yanlış yapıyoruz? Fransız bir de değil, iki otomobil üreticisi uzun uzun işe yaramayan şeyler peşinde koşan adamlara yer açmış, kaynak vermiş CAD’in öncüsü olmuş. Bizde bırak otomobil üreticisini üniversitelerde bile doğrudan paraya tahvil edilemeyen işlere tahammül edilmiyor. Öyle olunca da böyle oluyor, arz ederim.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

*

Şu HTML etiketlerini ve özelliklerini kullanabilirsiniz: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>