Henüz Olmamış Olayların Olasılığı

Henüz gerçekleşmemiş bir olayın olasılığı nedir? Misal, elimizde cetvelle geze geze insanların boyunu ölçüyoruz. 100 kişiyi ölçtük hepsinin boyu 2.20’den kısa çıktı. 1000 kişi yine öyle, 10.000 kişi yine öyle. Sabrımız ve bu işe ayıracak zamanımız tükendi, ne yapacağız? Demek 2.20’den uzun kimse yokmuş desek yalan, daha çok insana sormaya da takatimiz yok.

Genel kural şu: $N$ denemede hiç gözlemlenmeyen bir olayın olasılığı yaklaşık %95 ihtimalle  $\frac{3}{N}$’den küçüktür. 10.000 kişide hiç görmediyseniz, bu olayın sıklığı çok büyük ihtimalle (yaklaşık %95), $0.0003$’ten küçüktür.

Buyrun kısa bir hesapla bu işi çözelim. Diyelim aradığımız olayın olasılığı $p$, ve bu $p$ çok küçük. $N$ denemede $p$ ihtimalli olayın hiç çıkmaması için, her seferinde $1-p$ ihtimal gerçekleşmeli, bu da $(1-p)^N$ ihtimaldir. Cevaptan %95 emin olmak istiyorsak bu ihtimali $0.05$ yapan en büyük $p$ değerini arıyoruzdur. Yani $$(1-p)^N = 0.05$$ eşitliğini çözmek gerekir. Eşitliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alırsak $$ N \ln (1-p) = ln(0.05) = -3$$ buluruz. Bitirici darbeyi de kalkülüsten Taylor açılımıyla vuralım: $$ \ln (1+x) = x – \frac{x^2}{2} +  \frac{x^3}{3} + \dots$$

olduğundan, çok küçük $p$ değerleri için $ \ln (1-p)$ yaklaşık $-p$ olur. Yukarıdaki denklemde yerine koyarsak $N \dot (-p) = -3$, yani $p = \frac{N}{3}$ çıkar.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

*

Şu HTML etiketlerini ve özelliklerini kullanabilirsiniz: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>