Conway’in Büyücüleri

Bu yazı Tanya Khovanova’nın Conway’s Wizards başlıklı http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00283-012-9354-4#page-1 adresinde bulunan makaleden Türkçe’ye çevrilmiştir.

Günün birinde John H. Conway  1960’larda icat ettiği bir bulmacayı bana gönderdi.

Bu ilginç bulmacayı aşağıda bulabilirsiniz.

Geçen akşam bir otobüste iki büyücünün arkasına oturdum. Büyücüler arasında şöyle bir diyalog geçti:

A: Yaşları toplamı bu otobüsün numarasına eşit olan ve yaşları çarpımı kendi yaşıma eşit olan çocuklarım var ve çocuklarımın yaşı birer tam sayı.

B: Vay canına! Eğer bana yaşını ve kaç çocuğun olduğunu söyleyebilirsen çocuklarının yaşlarını bulabilirim.

A: Hayır

B: İşte bu! Sonunda senin kaç yaşında olduğunu anladım!

Otobüsün numarasının kaç olduğunu bulabilir misiniz?

Bu bulmaca çoğu zaman küçümsenen bir bulmaca olmuştur. Aslında göründüğünden daha ilginçtir. Doğru cevabı bulan kişinin bulmacayı tam anlamıyla çözüp çözmediği belli değildir. Bulmacayı aldıktan bir sonraki gün doğru cevabı Conway’a söylediğimde Conway’in suratıma oldukça kuşkulu bir şekilde bakmasının sebebi tam anlamıyla bulmacanın bu özelliğinden kaynaklanmıştır.

Bulmacanın cevabını size vereceğim. Fakat önce bazı şeyleri açıklığa kavuşturmak gerekecek. Öncelikle A büyücüsünün kabalığından dolayı sizlerden özür dilerim. A büyücüsü kaba bir şekilde “Hayır” dediğinde “Sana kendi yaşımı ve kaç çocuğumun olduğunu söylemeyeceğim.” demek istememiştir. A büyücüsü “Hayır” cevabını verirken aslında “Benim yaşımı ve kaç çocuğum olduğunu bilmen çocuklarımın yaşlarını bilmene yetmeyecektir.” demek istemiştir. Bu kısa açıklamadan sonra çözümümüze geçebiliriz.

Bulmacamızın çözümünü basitleştirmak adına

a: Büyücünün yaşı

b: Otobüsün numarası

c: Çocukların sayısı

olsun.

 

Örnekler

Şimdi birkaç tane örnek yapalım. b = 5 olduğunda çocukların olası yaşları, büyücünün yaşı ve çocukların sayısı şu şekilde listelenebilir:

  • 1, 1, 1, 1 ve 1. Yani a = 1 ve c = 5
  • 1, 1, 1 ve 2. Yani a = 2 ve c = 4
  • 1, 1 ve 3. Yani a = 3 ve c= 3
  • 1, 2 ve 2. Yani a = 4 ve c = 2
  • 1 ve 4. Yani a = 4 ve c = 2
  • 5. Yani a = 5 ve c = 1.

 

Yazımızın teorik altyapısı açısından büyücünün yaşının çok küçük olması gerçeğini gözardı edelim. Eğer büyücünün yaşı 4 değilse büyücünün yaşını bilmemizin, büyücünün kaç çocuğu olduğunu ve çocuklarının yaşlarını bulmamıza yettiğini yukarıdaki listeye bakarak görebiliriz.

A büyücüsünün “Hayır” demesini sağlayana kadar otobüsün numarasını 1 arttırarak her sayıyı deneyebiliriz. Okur böylece doğru cevabı bulabileceğimizi düşünebilir. Fakat bu bulmaca göründüğünden daha ilginçtir. Bu yöntemi kullanarak otobüs numarasını ve büyücünün yaşını bulabiliriz fakat hikayenin çok büyük bir parçasını atlamış oluruz.

Şimdi otobüsün numarasını büyük bir sayı alalım. Örneğin b = 21 olsun. A büyücüsü bu durumda “Hayır” diyebilir. Eğer yaşı 96 ise ve üç çocuğu varsa çocukların yaşları tek bir şekilde yazılamaz. Çocukların yaşları, 1,8 ve 12 ya da 2,3 ve 16 olabilir. Fakat burada asıl önemli olan sorun B büyücüsünün A büyücüsünün yaşını bulup bulmamasıdır. B büyücüsünün A’nın yaşını bulması mümkün değildir. A’nın yaşı 240 ve A’ nın, yaşları 4,5 ve 12 ya da 3,8 ve 10 olan üç çocuğu olabilir. B büyücüsü A’nın yaşını bulamacağı için 21 sayısı otobüsün numarası olamaz.

Aklınıza “Bu durum bütün büyük sayılar için geçerli midir?” sorusu gelebilir.

Şimdi 22 sayısını deneyelim. Dikkatli düşündüğümüzde yeni hesaplamalar yapmamıza gerek olmadığını görebiliriz. A büyücüsünün yaşı yine belirsizdir. Yaşları 1, 1, 8 ve 12 ya da 1, 2, 3 ve 16 olan 4 çocuk sahibi 96 yaşında bir büyücü olabilir veya yaşları 1, 4, 5 ve 12 ya da 1, 3, 8 ve 10 olan 4 çocuk sahibi 240 yaşında bir büyücü olabilir. Burada ne olduğunu görebildiniz mi? Yaşı 1 olan bir çocuğu daha bu hesaba ekleyebiliriz. Böylece çocuk sayısını ve çocukların yaşlarının toplamını 1 arttırabiliriz. Fakat yaşların çarpımı yine aynı kalır. Bu durum şu anlama gelir:  b numaralı otobüs B büyücüsü için iki farklı olası yaş seçeneği ortaya çıkarıyorsa o zaman aynı iki yaş seçeneği b+1 numaralı otobüs için de geçerli olacaktır. Bu sebepten 21 sayısından büyük sayıları kontrol etmemiz gerekmez. Yani b < 21 olmak zorundadır.

Problemimizi sonlu bir problem haline getirmiş olduk. 21 sayısına kadar olan bütün sayıları deneyerek cevabı bulabiliriz. Şanslıyız ki otobüsün numarası yukarıda anlattığımız yöntemi kullanarak çıkıyor. A büyücüsü “Hayır” dediğinde, yaşı tek bir şekilde yazılamayabilirdi ya da birden fazla otobüs numarası için B büyücüsü A’nın yaşını tahmin edebilirdi.

Cevaba gelecek olursak otobüsün numarasını 12 buluruz. Buna göre çocukların yaşları 2, 2, 2 ve 6 ya da 1, 3, 4 ve 4 olabilir. Böylece A büyücüsünün  yaşı her iki ihtimalde de 48 çıkar.

Çözümü tamamlamak adına 12 sayısından küçük ve 12 sayısından büyük hiçbir sayının bulmacamızın çözümü olamayacağını göstermemiz gerekir. Bunun incelemesini size bırakıyoruz.

 

Çocuk Sayısı

A büyücüsünün en baştan beri ikiden fazla çocuğu olduğu bellidir. A büyücüsünün eğer tek bir çocuğu olsaydı çocuğun yaşı otobs numarası ve A büyücüsünün yaşı ile aynı olmak zorundaydı. Bu durum hiç gerçekçi olmazdı. Fakat matematikte her zaman ilginç şeyler olabilir. Burada önemli olan nokta A büyücüsünün eğer tek bir çocuğu olsaydı sorulan soru karşısında “Hayır” deme şansının olmamasıdır. Aynı durum A büyücüsünün iki çocuk sahibi olduğu durumda da geçerlidir.

Bu sebepten A büyücüsünün en az 3 çocuk sahibi olması gerekir.

(Çevirmen Notu: A büyücüsü Türkiye’de çok rahat yaşar! )

Yapılan genel hatalardan biri A büyücüsünün tam anlamıyla 3 çocuk sahibi olması gerektiğini düşünmektir. Bu hatayı yapan kişiler bu bulmacanın güzelliğini görebilirler fakat tam anlamıyla otobüsü kaçırırlar : )

A büyücüsünün 3 çocuk sahibi olduğunu varsayanlar, A büyücüsünün ancak otobüs numarası 13 olduğunda “Hayır” diyebileceğini bulurlar.  Buradan A’nın yaşı 36 ve çocukların yaşları 2, 2, 9 veya 1, 6, 6 çıkar. Bir sonraki otobüs numarası 14 tür. Bu sayı A büyücüsünün yaşı için olası 2 seçenek ortaya çıkarır. İlk seçeneğe göre A büyücüsünün yaşı 40 çıkmalıdır. Çocukların yaşları ise 2,2,10 veya 1, 5, 8 çıkar. İkinci olarak A büyücüsü 72 çıkar ve çocukların yaşları 3, 3, 8 veya 2, 6, 6 çıkar. Yani eğer birisi size cevabın 13 olduğunu söylerse o kişi A büyücüsünün 3 çocuğu olduğunu varsaymıştır.

Basitleştirilmiş Büyücü Bulmacası

Conway’in bulmacasını inceledikten sonra size kendi başınıza uğraşabileceğiniz daha kolay bir bulmaca sunmak istiyorum. Bu sefer yaşların gerçekçi olmasına gerek yok. Bulmacamız şu şekilde:

A: Yaşları toplamı bu otobüsün numarasına eşit olan ve yaşları çarpımı kendi yaşıma eşit olan çocuklarım var ve çocuklarımın yaşı birer tamsayı.

B: Vay canına! Eğer bana kaç çocuğun olduğunu söyleyebilirsen onları yaşlarını bulabilirim.

A: Hayır

B: İşte bu! Sonunda senin kaç çocuğun olduğunu anladım!

Otobüsün numarasının kaç olduğunu bulabilir misiniz?Otobüs numarısını buurken büyücünün yaşını da bulabilir misiniz?

Şaşırtıcı bir şekilde cevap yine tek bir şekilde çıkmaktadır.

 

Genelleştirilmiş Büyücü Bulmacası

Bu sefer size biraz daha zor bir bulmaca vereceğim:

Geçen akşam bir otobüste iki büyücünün arkasına oturdum. Büyücüler arasında şöyle bir diyalog geçti:

A: Yaşları toplamı bu otobüsün numarasına eşit olan ve yaşları çarpımı kendi yaşıma eşit olan çocuklarım var ve çocuklarımın yaşı birer tamsayı. Ayrıca çocuklarımın yaşlarının kareleri toplamı koleksiyonumdaki oyuncak bebek sayısına eşit.

B: Vay canına! Eğer bana yaşını ve kaç çocuğun olduğunu ve koleksiyonunda kaç tane oyuncak bebeğin olduğunu söyleyebilirsen çocuklarının yaşlarını bulabilirim.

A:Hayır

B: İşte bu! Sonunda senin kaç yaşında olduğunu anladım!

Otobüsün numarasının kaç olduğunu bulabilir misiniz?

Conway’in bulmacasına geliştirmek adına yarattığım bu bulmacada gerçekçiliği biraz arka plana atmak zorunda kaldım. Bu bulmacayı çözebilmek için tam anlamıyla açık görüşlü olmanız gerekir. Conway’in orijinal bulmacasında A büyücüsünün yaşının belli bir aralıkta olduğunu varsaymak zorunda değilsiniz fakat çözümü bulunca büyücünü yaşının mantıklı bir yaş olduğu sonucunu çıkarabilirsiniz. Yukarıda bahsettiğim bu genelleştirilmiş bulmacada büyücülerinin ne kadar uzun yaşadığına ve ne kadar çok çocuk sahibi olduklarına şaşırabilirsiniz.

Bu bulmacanın orijinal bulmacadan bir diğer farkı ise bilgisayar yardımı olmadan bu bulmacayı çözmenin çok zor olduğudur. Bir kez daha elimizde tek bir çözüm vardır. Otobüsün numarası 26 çıkmak zorundadır. 26 dan küçük sayılar için A büyücüsü “Hayır” diyebilme fırsatını kazanamaz. Otobüs numarası 26 olduğunda A büyücüsü, 7 çocuk ve 124 oyuncak bebek sahibi ve 3456 yaşında olur. Çocukların yaşları aşağıdakilerden biri olmak zorundadır:

  • 1, 3, 3, 3, 4, 4, 8
  • 2, 2, 2, 2, 6, 6, 6

Otobüsün numarası 27 olduğunda 26 numaralı otobüs için kullandığımız çözümü tekrar kullanabilir ve 1 yaşında olan bir çocuk daha ekleyebiliriz. Bu sayede A büyücüsü 8 çocuklu, 125 oyuncak bebek sahibi 3456 yaşında olabilir. Otobüs numarası 27 olduğunda başka bir sonuç daha vardır. A büyücüsü 165 oyuncak bebek sahibi, 6 çocuklu 2560 yaşında olabilir. Çocukların yaşları aşağıdakilerden biri olmak zorundadır:

  • 1, 4, 4, 4, 4, 10
  • 2, 2, 2, 5, 8, 8

 

 

 

 

2 yorum

Bir yanıt bırakın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.


*