Matematik Kültür ve Eğitim III

 

Okullarda öğretilen matematiğin en acı verici yanı eksik olması değildir, zira eksikliğinden bahsedebilmemiz için önce “matematik” olması lazımdır. Maalesef sınıflarda yapılan şey matematik değildir. Yine de insana en başta acı veren şey, bu “matematiğin” yer aldığı, adına “matematik müfredatı” denilen, karman çorman, yanlış  bilgi yığınının varlığının kabul görmesidir. Şimdi, öğrencilerimizin aslında ne ile karşı karşıya olduklarına yani matematik adı altında neye maruz kaldıklarına ve süreç içerisinde nasıl zehirlendiklerine yakından bakalım. Matematik müfredatı denilen bu şeyin en çarpıcı özelliği esnekliğinin olmamasıdır. Özellikle üst sınıflarda bu gerçek daha da fazla ortaya çıkar. Okuldan okula, eyaletten eyalete, bire bir aynı şeyler, aynı sırayla söylenir ve yapılır. Bir çok insan rahatsız olmanın ve üzgün olmanın ötesinde bu Orwellci “standart model” matematik müfredatını, matematikle eş değer tutar. İşte bu, benim “merdiven efsanesi” (matematikte “konular”ın bir şekilde kolaydan zora doğru sıralanabileceği efsanesi) diye adlandırdığım şeye bağlanır. Bu durumun okul matematiğine etkisi, öğrencileri bir yarışa sokmasıyla olur. Bazı öğrenciler diğerlerinin “önündedir” ve aileler çocuklarının diğerlerinin “gerisinde” kalmasından endişelenirler. Peki bu yarış bizi nereye götürür? Bu yarışın bitiş çizgisi nerededir?  Bu yarış hiç bir yerde bitmeyen üzücü bir yarıştır. Sonunda matematik eğitimi aldığınızı sanıp kandırılırsınız ve bunun farkına bile varmazsınız. Gerçek matematik size bir kutu içinde gelmez. Mesela Cebir 2 konusu diye bir şey yoktur. Problemler sizi nereye götürmek isterse oraya götürür. Sanat bir yarış değildir. Bu merdiven efsanesi, matematik hakkında yanlış bir imaj oluşturur ve öğretmenlerin bu standart müfredattaki rolleri bu efsaneyi güçlendirir. Bu sayede öğretmenler matematiği organik bir bütün olarak göremezler. Sonuç olarak hiç bir tarihsel perspektifi ya da  tematik bütünlüğü olamayan, karışık parçalardan oluşan konular ve teknikler içeren ve ancak adım adım  izlenen metotlar kullanılarak birleştirilebilen bir matematik müfredatımız meydana gelir.

Araştırma ve keşif yerine kurallarımız ve yönetmeliklerimiz var. Öğrencinin “Bir sayının negatif kuvvetini artırdığımda ne olduğunu görmek istedim ve böyle yapınca çok hoş bir örüntü buldum.” dediğini hiç bir zaman duymayız. Bunun yerine öğretmenlerimiz ve kitaplarımız bize “negatif kuvvetli sayıları” estetikten yoksun bir şekilde, değiştirilemez bir gerçek olarak sunar. Anlamlı problemler yerine, anlatılan konuya ait teknikleri içeren, birbirinden ve matematikten kopuk, ne öğrencilerin ne öğretmenlerin neden bunu yaptıklarına dair en ufak fikirlerinin olmadığı, sıkıcı ve gereksiz alıştırmalarımız vardır. Oysaki bu tür problemler, öğrencilerin çeşitli fikirler üretmelerini, tartışma ve irdelemenin keşfedilmemiş bölgelerine girmelerini, matematikteki tematik birliği ve uyumu hissetmelerini sağlar. 

Öğrencilerin, söylemek istedikleri şeylere  ve kavramları nasıl bağlayacaklarına dair kararlar alabildikleri doğal problemler yerine, asla bitmeyen, motivasyonu olmayan tepeden inen “tanımlarla”  uğraşmalarını sağlarız. Müfredat korkunç bir şekilde terminolojiye ve teknik dile saplantılı hale gelmiştir. Bu durumun tek faydası,  öğrencilerin terminolojiyi öğrenip öğrenmedikleri hakkında test edilmelerini sağlamaktır. Hiçbir matematikçi, 2 ½ ‘ye “tam sayılı kesir” , 5/2 ‘ye “bileşik kesir” diyelim, şeklinde bir ayrım yapmaz. Allah aşkına, bu iki kesir birbirine eşittir ! Aynı özelliklere sahip, aynı şeyi ifade eden, aynı sayılardır bunlar. İlkokul dördüncü sınıf öğrencileri dışında  kime böyle tanımlamalar yapılır ki?

Öğrencilerin böyle anlamsız bir tanımı bilip  bilmediğini ölçmek, onların güzel bir şey yaratmasını ve kendi anlamlarını çıkarması için ilham vermekten tabii ki daha kolaydır. Matematikteki temel ortak terimlerin bilinmesinin değerli olduğu konusunda uzlaşmış olsak bile bu terim o terimlerden biri değildir. Beşinci sınıf öğrencilerinin “sanı” ya da “karşı örnek” gibi terimleri öğrenmemeleri ne kadar acı. Lise öğrencileri sekant fonksiyonunu, kosinüs fonksiyonunun çarpımsal tersinin yani 1/cos x fonksiyonunun kısaltılışı olarak, sec x, şeklinde öğrenmek zorundadırlar. (Bu tanımın bilimsel ağırlığı “ve” yerine “&” işareti koymak gibi bir şeydir.) Bu kısa yazım bize 15. yüzyıl gemicilik tablolarından bugünlere kadar şans eseri  gelmiştir. (Diğer kısa yazım olan “versin” bu zamanlara kadar gelememiştir.) Bu tanımın artık, hızlı ve doğru gemi hesaplamaları yapmaya gerek duyulmayan günümüzde herhangi bir değeri yoktur. Matematik derslerimizi bunun gibi anlamsız terimlerle darmadağın ediyoruz.

Pratikte müfredat, bir konular ya da fikirler dizisi bile değil, sadece notasyonlar (gösterimler) dizisinden ibaret. Açık bir şekilde matematik, mistik sembollerin bir listesinden ve manipülasyon kurallarından oluşuyor. Genç öğrencilere önce ‘+’ ve ‘÷’ gösterilir. Ancak ondan sonra ‘ √¯’ önlerine konulur. Daha sonra ‘x’ , ‘y’ ve parantezlerin simyası başlar. En sonunda ‘sin’, ‘log’, ‘f(x)’ kullanımlarıyla beyinleri yıkanır. Eğer öğrenciler değerli görülürlerse ‘d’ ve ‘ ∫ ’ gösterilir. Bunların her birini hiçbir matematiksel deneyim kazanmadan elde ederler.

Bu program o kadar sabittir ki, öğretmenler ve kitap yazarları yıllar geçtikçe öğrencilerin hangi soruda ne yapacaklarını kestirebilirler. Lise cebiriyle yeni tanışan bir öğrenciden, bir çok farklı f fonksiyonu için

[f(x + h) – f(x)] / h

 değerini bulmasının istenmesi görülmemiş bir şey değildir. Çünkü bu yolla öğrenciler bir kaç yıl sonra “calculus” dersi aldıklarında bu formülü daha önce “görmüş” olacaklardır. İlk bakışta gelişigüzel görünen bu formülle ilgili doğal olarak hiçbir motivasyon verilmez (beklenmez de). Bu şeyin ne anlam ifade edebileceğini açıklamaya çalışan ve öğrencilerine iyilik yaptığına inanan birçok öğretmen olduğuna eminim. Fakat her ne yaparlarsa yapsınlar öğrenciler için bu şey, yapılması gereken bir başka sıkıcı problem olarak görülür.”Benden ne yapmamı istiyorlar? x’in yerine sayıyı yazacağım değil mi? Evet işte yaptım.”

 

Öğrencileri gereksiz formdaki bilgilere maruz bırakarak yetiştirmenin bir başka sebebi ise daha ileriki zamanlarda bu bilgilerin işe yarayacağına olan inançtır. Herhangi bir ortaokul matematik öğretmeninin, öğrencilerinden “3 ve 7 arasındaki sayıları

|x – 5| < 2

olarak göstermelerini istemesinin manası hakkında en ufak bir fikri var mıdır? Bu  son derece beceriksiz kitap yazarları, gerçekten öğrencilerin gelecekte bir gün, çok boyutlu geometri ya da metrik uzaylarla karşılaştıkları zaman aşina olsunlar diye onlara bu şekilde yardım ettiklerini mi düşünüyorlar? Bundan oldukça şüpheliyim. Bence on yıllardan beri birbirlerini kopyalayıp duruyorlar. Belki yazı fonlarını değiştiriyorlar, bazı yerleri renkli yapıyorlar ve okul sistemi onların kitaplarını seçtiklerinde gururla ortalıkta dolaşıyorlar. Fakat farkında olmadan suç ortağı oluyorlar.

Matematik, problemlerle ilgilidir. Problemler, öğrencilerin matematiksel yaşamının odak noktası olmalıdır. Acı verici ve olağanüstü derecede moral bozucu olsa da öğrenciler ve öğretmenler sürekli bir şekilde sürecin içinde olmalı; fikirler üretmeli, örüntüler keşfetmeli, sanılarda bulunmalı, örnekler ve karşı örnekler inşa etmeli, argümanlar düzenlemeli ve birbirlerinin yaptığı işleri eleştirmeliler. Spesifik teknikler ve yöntemler tıpkı geçmişte olduğu gibi bu sürecin içinden doğal olarak ortaya çıkacaktır, hem de izole bir şekilde değil, problem geçmişine organik bir şekilde bağlı olarak.

İngilizce öğretmenleri, heceleme ve telaffuzun okuma ve yazma ile en iyi şekilde öğrenildiğini bilir. Tarih öğretmenleri derslerinde olayların arka planları olmadan sadece tarihleri ve kişileri anlattıklarında derslerinin anlamsızlaşacağını bilir. Peki, neden matematik eğitimi on dokuzuncu yüzyılda saplanıp kalmıştır? Kendi cebir öğrenme deneyiminizi Bertrand Russell’in deneyimiyle karşılaştırın:

Şu cümleyi ezbere bilmeliydim: ‘İki sayının toplamının karesi, birinci sayının karesi, artı ikinci sayının karesi,  artı bu iki sayının çarpımının iki katına eşittir.’ Bunun ne demek olduğu konusunda en ufak bir fikrim yoktu. Bu cümleyi hatırlamadığımda, hocam kafama kitap fırlatırdı. Bu yöntem de hatırlamama yardımcı olmazdı.”

Sizce şimdi durum farklı mı?    

SIMPLICIO: Ben bunun adil olduğunu düşünmüyorum. O zamandan şu ana kadar öğretme yöntemleri tabii ki gelişti.

SALVIATI: Yetiştirme yöntemlerinden bahsediyorsun sanırım. Öğretmek oldukça karmaşık, insani bir ilişkidir. Herhangi bir yönteme ihtiyacı yoktur. Ya da şöyle söylemeliyim: Eğer bir yönteme ihtiyacınız varsa siz muhtemelen iyi bir öğretmen değilsinizdir. Kendi ses tonunuzda, doğal ve doğaçlama bir şekilde anlatabilecek kadar konuya  tutku beslemiyorsanız, konuyu ne kadar iyi anlatabilirsiniz ki? Hazır on dokuzuncu yüzyıla saplanıp kalmaktan bahsetmişken müfredatın da on yedinci yüzyıla saplanıp kalması da şok edici değil midir?  İnsan, matematiksel düşüncede son üç yüz yılda yapılan keşifler ve derin devrimsel yenilikleri düşününce bütün bunlardan  neden bahsedilmiyor, diye hayıflanıyor.

SIMPLICIO: Peki, sence matematik öğretmenlerinden gerçekten de çok fazla şey beklemiş olmuyor musun? Öğretmelerin düzinelerce öğrencinin her biriyle teker teker ilgilenmesini, kendi yollarını bulup, keşiflerde bulunup, aydınlanmalarını sağlamak için onlara rehberlik etmesini ve aynı zamanda matematik tarihine hakim olmalarını beklemek sence de biraz fazla değil mi?

SALVIATI: Resim öğretmeninin seninle bireysel olarak ilgilenmesini ve sana özel tavsiyelerde bulunmasını mı beklersin? Son üç yüz yılda sanat tarihinde olan her şeyi bilmesini mi beklersin? Cidden, ben böyle şeyler beklemiyorum. Sadece keşke böyle olsa diyorum.

SIMPLICIO: Yani kısaca matematik öğretmenlerini suçluyorsun?

SALVIATI: Hayır. Ben onları yaratan bu kültürü suçluyorum. Zavallılar ellerinden gelen her şeyi yapmaya çalışıyorlar. Ne yapmaları için yetiştirildilerse onu yapıyorlar. Eminim birçoğu öğrencilerine aşıktır ve içinde bulundukları durumdan nefret ediyordur. Kalplerinde bu durumun anlamsız ve onur kırıcı olduğunu hissediyorlardır. Büyük bir yok edici makinenin dişlilerinden biri olduklarını hissedebiliyorlar fakat bu makineyi anlayacak ya da bununla savaşacak bakış açısının eksikliğini çekiyorlardır. Bildikleri tek şey var. Öğrencileri “bir sonraki yıla” hazırlamak zorundalar.

SIMPLICIO: Sence gerçekten de öğrencilerin çoğunun bu kadar ileri düzeyde kendi matematiklerini yapabilecek kadar yetenekleri var mıdır?

SALVIATI: Eğer geçrekten de yaratıcı düşünmenin ve akıl yürütmenin öğrencilerimiz için çok “yüksek” olduğunu ve bunu kaldıramayacaklarını düşünüyorsak  neden onların Shakespeare hakkında yazılar yazmalarına ya da tarih makaleleri yazmalarına izin veriyoruz ki? Buradaki problem bunu öğrencilerin kaldıramaması değil; öğretmenlerin bunu kaldıramaması. Kendi başlarına hiç bir şeyi kanıtlayamamışlarsa öğrencilerine bunu nasıl tavsiye edebilirler ki? Her durumda öğrencilerin merak ve yeteneklerinin bir sınırı var tabii ki. Fakat benim dediğim gibi olursa en azından öğrenciler şu anda gösterilen ucuz taklit yerine gerçek matematikle karşılaştıklarında matematiği sevip sevmeyeceklerine karar verebilecekler.

SIMPLICIO:   Lakin hepimiz öğrencilerin en temelde bazı gerçekleri öğrenmelerini ve bazı yetenekler kazanmalarını istiyoruz. İşte müfredat da tam bunun için var ve tam da bu yüzden bu kadar düzgün: Öğrencilerimizin bilmesi gereken, zamandan bağımsız katı gerçekler var. Mesela “Bir artı bir iki eder.” ya da “ Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.” Bütün bunlar birer görüş ya da sanatsal birer hissiyat değildir.

SALVIATI: Tam tersi. Matematiksel yapılar, kullanışlı olsun ya da olmasın, bir problem çerçevesi içerisinde oluşmuşlardır ve bu problemler çerçevesinde manalanırlar. Örneğin bazen bir artı birin sonucu sıfır olur aritmetikte buna “1 + 1 ≡ 0 mod 2” denir, ya da bir kürenin yüzeyine bir üçgen çizdiğimizde o üçgenin iç açılarının toplamı 180 dereceden fazla çıkabilir. Tek başına oluşan “ gerçekler” yoktur. Her şey görecelidir ve birbiriyle ilişkilidir. Burada önemli olan hikayedir, hikayenin sonu değil.

SIMPLICIO: Şu mistik ıvır zıvırından gerçekten de çok sıkıldım. Basit aritmetikten bahsedelim. Sence öğrenciler aritmetiği öğrenmeli mi öğrenmemeli mi?

SALVIATI: Bu sorunun cevabı aritmetik derken o kelimeye ne anlam yüklediğine bağlı olarak değişir. Eğer sayma ve düzenleme problemlerini, gruplama ve adlandırmayı, nesne ile onun temsilinin farkını anlamayı, sayı sistemlerinin tarihsel gelişimindeki fikirlere saygı duymayı kastediyorsan o zaman bu soruya cevabım “evet” olur. Öğrenciler böyle şeylerle karşılaşmalıdır. Fakat eğer herhangi bir altyapısı olmaksızın aritmetiksel gerçeklerin ezberlenmesinden bahsediyorsan o zaman cevabım “hayır” olur. Mesela, 7 elemandan oluşan 5 grubun 5 elemandan oluşan 7 grupla aynı şeyi ifade ettiğini anlatacaksan o zaman sana cevabım “evet” olur. Yok, eğer 7 x 5 = 5 x 7 gibi bir kural oluşturuyorsan o zaman “hayır” derim. Matematik yapmak her zaman örüntüler keşfetmek, güzel ve anlamlı açıklamalar yapmakla eş değer olmalıdır.

SIMPLICIO: Peki, ya geometri? Öğrenciler orada kanıt yapmıyorlar mı? Sence lisedeki geometri dersleri tam da senin istediğin gibi dersler değil mi?

Not: Paul Lockhart’ın “A Mathematician’s Lament” yazısını ilk çevirmeye başladığımda yazının hepsini çevirmemeye karar vermiştim. İki parça olacaktı yazı. Bunu da “Matematik, Kültür ve Eğitim I” yazısında açıklamıştım. O ilk yazının yayımlanmasından bu yana, tahminimin ötesinde bir çok olumlu ve olumsuz eleştiri aldım. Olumlu ya da olumsuz olmasına aldırmadan bu eleştirilerin hepsinin yapıcı eleştiri olduğunu söyleyebilirim. Gözlemlediğim kadarıyla herkesin matematik eğitimi hakkında kendine ait bir fikri var fakat bu fikirler bilinmiyor ya da yeterince dile getirilmiyor. İngilizceden çevirdiğim bu yazının o fikirlerin ortaya çıkmasına yardımcı olacağına inanıyorum. Bu yüzden “A Mathematician’s Lament”yazısının tamamını çevirmeye karar verdim. İlk yazıda verdiğim sözden döndüğüm için okuyuculardan özür diliyorum.

Metnin redaksiyonu için Betül Tolgay’a teşekkür ederim.

Boğaç Karçıka

Bilkent Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Öğrencisi

 

 

İlk yorum yapan olun

Bir yanıt bırakın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.


*