Evlilik Problemi

8 Mart Dünya Kadınlar Günü’ne boş sloganlar atarak, bilindik sorunlara çarpıcı komiklikler yaparak –ki ne kadar düşündüysem de 8 Mart yürüyüşünde kendileriyle beraber yürümek istemedikleri için kadınlara saldıran erkek kortejinden daha çarpıcı bir komiklik bulamadım- iştirak etmektense, matematiğin en berrak haliyle hayata ve ayrımcılığa dokunduğu bir konuyu anlatmaya karar verdim.

Eşit sayıda kadın ve erkeği nasıl evlendirirsiniz? İnsanları rastgele evlendirmek çözüm değil, çünkü sonra sorun çıkıyor ve on sezon dizisi çekiliyor. Bihter ile Behlül’ü biliyorsunuz. Bihter, Adnan Bey’le evli; Behlül ise Nihal ile evleniyor. Yalnızca birisi, diğerini mevcut evliliğine tercih ediyor olsa dert değil; “karşılıksız aşk” der, geçeriz. İkisi birden olunca, Türk aile yapısının gördüğü zarar bir yana, insanlığın en derin yaralarından biri ortaya çıkıyor. Yine de umutsuzluğa kapılmayın. Shakespeare’den Ayşe Kulin’e, Beatles’dan Serdar Ortaç’a, İncil’den match.com’a kadar insanlığın kültürel birikiminde hüküm süren bu konuda matematikçilerin de söyleyecek sözü var. En azından Seda Sayan kadar iyi yapamayacaksak çöpçatanlığı, yazıklar olsun toplumun bize verdiği emeklere!

05052009010852_1245665172

Matematiğin kesinliği ve o kesinliğin getirdiği rahatlığa ulaşmak istiyorsak, bir takım varsayımlar yapmak zorundayız. “Neden kadınlarla erkekler evleniyor? Matematikçiler eşcinsel evliliklere karşı mı?” demeyin mesela. Tabii ki biyolojik cinsiyet üzerinden ayrım yapmak tek yol değil, ama “Elimizde birbiri ile eşleştirmeye çalıştığımız eşit sayıda iki gruba ayrılmış insan var.” desem konuyu gereksiz bir kuruluğa hapsetmiş olurum. Elbette insanlar, iki eş adayı arasında tercih yapmaları gerektiğinde net olarak “En çok bunu istiyorum.” diyemeyebilir ve hatta tercihleri değişebilir. Biz bunların olmadığı bir kurguda çalışalım. Her erkek muhtemel eş havuzundaki kadınları en çok tercih ettiğinden en az tercih ettiğine doğru sıralamış olsun, herhangi iki aday arasında beraberlik ihtimali olmasın ve bu sıralama kalıcı olsun. Aynı şekilde her kadın da muhtemel eş havuzundaki erkekleri sıralasın. Kadınlarla erkekleri öyle bir eşleştirelim ki, Bihter ve Behlül gibi mevcut eşleşmelerindense birbiriyle olmayı tercih edecek ikililer ortaya çıkmasın.

Aslında insanlığın kolektif bilinci bu sorunu çözmüş, matematikçilere çözümü güzelce yazmak kalmış. Aşağıdaki algoritma (literatürdeki adı “Evlilik Teklifi Algoritması”) işimizi görecek:

  • Her adımda erkekler, listelerinde henüz “Hayır” cevabı almadıkları en çok tercih ettikleri kadına evlilik teklif eder.
  • Her adımda kadınlar, kendilerine gelen evlilik tekliflerinden en çok tercih ettiklerine “Belki” diğerlerine “Hayır” der ve bir sonraki adıma geçilir.

  • Her erkek “Belki” cevabını duyduğunda algoritma durur ve çiftler evlendirilir.

Bunun nasıl çalıştığını ve hayatta neye karşılık geldiğini iyice anlamak için bir örnek üzerinde çalışalım. Ali, Burak, Cem ve Doğu erkeklerimiz; Evrim, Filiz, Gül ve Hülya kadınlarımız olsun ve tercihlerin aşağıdaki gibi olduğu durumu inceleyelim:

  • Ali: Evrim > Hülya > Filiz > Gül
  • Burak: Evrim > Hülya > Gül > Filiz
  • Cem: Evrim > Hülya > Filiz > Gül
  • Doğu: Gül > Hülya > Evrim > Filiz

Ve kadınların tercihleri:

  • Evrim: Ali > Doğu > Burak > Cem
  • Filiz: Ali > Doğu > Burak > Cem
  • Gül: Ali > Burak > Doğu > Cem
  • Hülya: Ali > Doğu > Burak > Cem

Algoritmada bahsedilen adımları bir gün gibi düşünebilirsiniz. Her gün erkekler ve kadınlar kısmetlerine kavuşmak için yukarıdaki talimatnameyi takip ediyorlar. İlk gün erkekler henüz “Hayır” cevabı almamış oldukları için en çok tercih ettikleri kadının kapısını çalıp evlilik teklif ediyor. Demek ki, ilk gün Ali, Burak ve Cem Evrim’e, Doğu ise Gül’e evlilik teklif ediyor. Kadınlar cephesinde Evrim kendisine gelen üç tekliften en çok tercih ettiğine (Ali) “belki”, diğerlerine “hayır” diyor, Gül kendisine sadece bir teklif geldiği için Doğu’ya “Belki” diyor, Filiz ve Hülya henüz bir teklif almadıkları için ilk günü boş geçiriyorlar. İlk günü şöyle özetleyebiliriz:

Ali, Burak, Cem $\rightarrow$ Evrim

Filiz :(

Doğu $\rightarrow$ Gül

Gül :(

Bakalım ikinci gün neler oluyor. Ali ve Doğu “Belki” cevabını aldıkları için ikinci gün de ilk gün gittikleri kadınların kapılarını aşındıracak. Burak ve Cem, Evrim’den “Hayır” cevabını aldıklarından listelerindeki bir sonraki kadına gidecekler, yani:

Ali $\rightarrow$ Evrim

Filiz :(

Doğu $\rightarrow$ Gül

Cem, Burak $\rightarrow$ Hülya

İkinci günde Hülya Burak’a “Belki”, Cem’e “Hayır” cevabını veriyor. Erkeklerden sadece Cem’e “Hayır” dendiği için, Cem listesinde bir sonraki adaya giderken diğer erkekler üçüncü günde sabit:

Ali $\leftrightarrow$ Evrim

Cem $\leftrightarrow$ Filiz

Doğu $\leftrightarrow$ Gül

Burak $\leftrightarrow$ Hülya

Bütün erkekler “Belki” cevabını aldığı için üçüncü günde ortaya çıkan çiftleri evlendiriyoruz. Adım adım üstünden gittiğimiz bu süreç hayatın bizzat kendisi değilse bile iyi bir kopyası. Erkekler en beğendikleri kadına evlilik teklif ediyorlar, olumsuz cevap aldıklarında listeden bir sonraki kadının kapısını çalıyorlar. Kadınlar da kendilerine gelen en iyi teklifi bekletiyor (hemen evet demiyorlar çünkü ertesi gün daha çok beğendikleri bir erkek kapılarını çalabilir) ve bu oyun her kadının kapısında sadece bir erkek kalıncaya kadar devam ediyor. Bu algoritmanın tercihler nasıl olursa olsun sonlu adımda duracağını ve Bihter’le Behlül gibi sorunlu ikililer oluşturmayacağını meraklı okurlar çok zorlanmadan ispatlayabilir.

İnsanlığın kolektif bilinci ve toplum dinamiklerinin ortaya çıkardığı bu yöntem, sorunu gerçekten çözüyor, aferin bize. Ayrıca hem erkeklerin hem kadınların tercihlerini göz önünde bulunduruyoruz, bir ayrımcılık da yok. Yani, yok gibi. Yoktur herhalde, neden olsun ki? Algoritmada kadınlarla erkeklerin rolleri farklı -erkekler teklif götürüyor, kadınlar teklif değerlendiriyor- ama bunun kadınların aleyhine olduğunu düşünmek için bir sebep yok. Yani, yoktur herhalde. Hatta erkeklere sorun, girişimde bulunmak mecburiyetinden ne kadar mağdur olduklarını anlatsınlar size. Ne azaptır o!

Yine de gelin bu durum, kadınlarla erkekler arasında ölçülebilir bir fark mı diye düşünelim. Hayatta mutluluğa denk gelmez ama insanların tercih listelerindeki üst sıralardaki insanlarla eşleşmelerini bir “mutluluk ölçüsü” olarak düşünebiliriz. Mesela yukarıdaki örnekte Ali’nin tercihleri

  • Ali: Evrim > Hülya > Filiz > Gül

olduğundan Ali Evrimle eşleşirse 4, Hülya’yla eşleşirse 3, Filiz’le eşleşirse 2, Gül’le eşleşirse 1 mutluluk puanı alır diyebiliriz. Benzer şekilde her erkek ve her kadın için her bir muhtemel eşin birden dörde kadar mutluluk puanı var. Yukarıda bulduğumuz

Ali $\leftrightarrow$ Evrim

Cem $\leftrightarrow$ Filiz

Doğu $\leftrightarrow$ Gül

Burak $\leftrightarrow$ Hülya

eşleşmesinde mutluluk puanlarını tercih sıralarına bakarak hemen hesaplayalım:

  • Ali 4, Burak 3, Cem 2, Doğu 4

  • Evrim 4, Filiz 1, Gül 2, Hülya 2

Erkeklerin toplam mutluluğu 13, kadınların toplam mutluluğu 9 çıktı. Peki, eşleştirmeyi yaparken kullandığımız algoritmada kadınlar teklif götürseydi, erkekler bekleseydi ne olurdu? Ara adımları sizlere bırakıyorum, erkeklerle kadınların rolleri değiştiğinde aynı ekiple şu eşleşmeyi bulacaksınız:

Evrim $\leftrightarrow$ Ali

Filiz $\leftrightarrow$ Cem

Gül $\leftrightarrow$ Burak

Hülya $\leftrightarrow$ Doğu

Algoritma aynı olduğu için bu eşleşmede de Bihter ile Behlül yaratma riski yok. Şimdi mutlulukları hesaplayınca:

  • Ali 4, Burak 2, Cem 2, Doğu 3

  • Evrim 4, Filiz 1, Gül 3, Hülya 3

O da nesi? Erkeklerin toplam mutluluğu 11, kadınların da 11. Roller değişince kadınların toplam mutluluğu arttı, erkeklerin toplam mutluluğu azaldı.

Bu bir tesadüf mü? Sadece bir örnek üzerinde bu rol değişikliğinin etkisini gördük ama acaba hep böyle mi oluyor? Matematiğin hikmeti tam bu noktada ortaya çıkıyor: Bu algoritma mümkün olan bütün tercih listeleri üzerinde teker teker çalıştırılıp teklif götüren ve teklif bekleyen grupların ortalama toplam mutlulukları hesaplandığında teklif götüren grubun daha mutlu olduğu görülür! “Bunu kolayca kanıtlayabilirsiniz.” diyemem, ama neden olduğunu kolayca görebilirsiniz. Teklif değerlendiren gruptaki bireyler daha en baştan kendilerine gelen tekliflerin en yüksek puanlısıyla sınırlılar, teklif götürenler ise sıradan en yüksek puanlı ihtimallere gidiyor.

Evet, sevgili okur, istersen kadınlara biçilen rolü “kadın ruhuna en uygunu”, “insanın doğasında bu var” yahut “öteki türlüsü örf ve adetlerimize ters” diye savunabilirsin fakat 2+2=4 kesinliğinde bir hesap, bu işten erkeklerin karlı çıktığını gösteriyor. İnsan doğası, kadın ruhu, örf adet falan tesadüftür hep biz erkeklerin işine geliyor, yine de “Bizde şans olsa anamızdan kız doğardık.” ağzımızdan düşmüyor.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

*

Şu HTML etiketlerini ve özelliklerini kullanabilirsiniz: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>