Değerli Yanlışlar

Okul yıllarımız boyunca matematik dersinde bize mümkün olduğunca kısa bir sürede, kusursuz bir şekilde soruları çözmemiz tembihlendi. Oysaki matematikte bazı yanlış cevaplar bize doğruyu bulma konusunda çok şey katar. Matematik bölümünde okurken bir hocam silgi kullanan öğrencileri kibarca eleştirirdi. “Hata yaptıysan üstünü çizersin. Başka bir yere yeni çözümünü yazmaya başlarsın. Böylece nerede hata yaptığını ve o hatayı nasıl düzeltebileceğini görebilirsin” derdi.  Matematik yaparken silgi kullanmamaya alışmak yıllarımı aldı. Hala tam olarak hocamın dediği şekilde yapamıyorum. Erken yaşta edinilen alışkanlıklardan kurtulmak zor oluyor.

Yukarıda bahsettiğim şeyi matematikte bir örnek vererek desteklemek istiyorum. Lise öğrencileri üniversiteye giriş sınavına hazırlandıklarında türev konusunda genellikle aşağıdaki problemle karşılaşırlar:

f(x) = xx fonkisyonunun türevi nedir?

Bu soruyu çözerken size önce iki farklı yanlış cevap vereceğim. Daha sonra doğru cevabı yazıp cevapları karşılaştıracağım. Bütün bunlardan sonra yeni bir yaklaşım göstermeye çalışacağım.

Bu soruyla ilk karşılaşan öğrenci xx fonksiyonunun bir polinom olduğunu düşünebilir. Böylece fonksiyonun türevinin x.xx – 1 olduğunu söyler. Bir başka öğrenci ise bu fonksiyonun üstel fonksiyon olduğunu düşünebilir ve bu üstel fonksiyonun türevinin            ln x( xx ) olduğunu söyler. Bu iki cevap tabii ki yanlıştır. Fakat bu iki cevap o kadar da kötü cevaplar değildir!

Bu iki cevabın neden kötü cevaplar olmadığını doğru çözümü yazıp göstermeye çalışacağım.

Öncelikle y = xx fonksiyonumuzda eşitliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alalım. Yani

RESİM 1

Her iki tarafın türevini aldığımızda

RESİM 2

ve buradan

RESİM 3

 çıkar.

Kısaca f(x) = xx fonksiyonunun türevi

RESİM 4

olur.

Şimdi tekrar iki yanlış cevabımıza geri dönelim. Birince cevap  x.xx – 1 fonksiyonu, ikinci cevap ise ln x( xx ) fonksiyonuydu. Bizim bulduğumuz sonuç sanki bu iki cevabın toplamıymış gibi gözüküyor. İyi ama nasıl böyle bir şey olabilir ki? Olsa olsa tesadüftür bu sonuç diye düşünebilirsiniz.

Başka bir fonksiyona bakalım. Örneğin fonksiyonumuz

RESİM 5

olsun. Yukarıda bahsettiğimiz iki öğrenci benzer yanlışları yine yapsın. İlk öğrencimiz bu fonksiyonu sanki kök alma fonksiyonu gibi düşünsün. Yani bu fonksiyonun

RESİM 6

türünden bir fonksiyon olduğunu düşünsün. Bu öğrenci fonksiyonu böyle gördüğünde haliyle fonksiyonun türevini

RESİM 7

olarak bulur.

İkinci öğrencimiz ise kökün içindeki x i sabit bir sayıymış gibi düşünsün. Yani bu fonksiyonun

RESİM 8

türünden bir fonksiyon olduğunu düşünsün. Bu öğrenci de fonksiyonu böyle gördüğünde haliyle fonksiyonun türevini

RESİM 9

Acaba bu iki cevabın toplamı yine bizi doğru cevaba ulaştıracak mı? Hiç lafı uzatmadan söyleyelim: Evet !

RESİM 10

fonsiyonun türevini geleneksel yöntemlerle almayı size bırakıyorum.

Artık bu kadarı da tesadüf olamaz. Bu durumun genel bir kural olmalı ve bu kuralı kanıtlamalıyız.

Teorem: İçinde birden fazla x değişkeni olan bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun “kısmi” türevlerinin toplamıdır. ( Burada “kısmi türev” derken x lerden birini seçip diğerlerini sabit sayı gibi görmeyi kastediyoruz.)

Kanıt: Teoremde bahsettiğimiz fonksiyona f diyelim. f fonksiyonunda n tane x değişkeni olduğunu varsayalım.

Şimdi

  X: R → R^n  fonksiyonu X(x) = (x,x,…,x) şeklinde tanımlansın. F: R^n → R fonksiyonu ise her bir x değişkenini yeni bir x_i değişkeni olarak tanımlasın. O zaman f = F o X olur. 

RESİM 11

olduğundan çok değişkenli fonksiyonlarda zincir kuralını kullanarak,

RESİM 12

sonucuna ulaşırız ve kanıtımız biter.

Bu yöntem hiç bir standart kalkülüs kitabında ya da lise matematik kitabında bulunmaz çünkü yöntemin kanıtı çok değişkenli fonksiyonların türevini içerir.  Fakat tıpkı size daha önce verdiğim iki örnek gibi fonksiyonların türevini almamızda kolaylık sağlar. 

Örneğin siz de bu yöntemi kullanarak

RESİM 13

fonksiyonunun türevini bulabilirsiniz.

Son olarak yazımızı bir alıntıyla bitirelim:

“Yaratıcılık size hata yapma özgürlüğü tanır”

Alfred North Whitehead

İngiliz Matematikçi ve Filozof

Kaynak:

Differentiating Iteratively, Philip P. Mummert and Ken Constantine

The American Mathematical Monthly, Vol. 120, p. 545

Boğaç Karçıka

Matematik Öğretmeni

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

*

Şu HTML etiketlerini ve özelliklerini kullanabilirsiniz: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>