Ya dışındasındır çemberin ya da içinde yer alacaksın

Çizgeler kuramı anlatırken ihtiyaç üzerine bahsettiğim bir teorem “Jordan Eğri Teoremi”:

Kendisiyle kesişmeyen kapalı sürekli bir eğri, düzlemi iki parçaya ayırır.

Ne olacaktı ki? Kendisiyle kesişmeyen kapalı sürekli bir eğri olsa olsa çember gibi elips gibi bir şeydir, bunların da belli ki bir içi bir de dışı vardır. Bırak birisinin adını vermeyi, adına teorem demeye bile lüzum olmayacak kadar basit. 1800’lerin başlarında Bernard Bolzano bu önermenin hiç de aşikar olmadığını farkedip gündeme getiriyor.

Aşağıdaki resimde kendisiyle kesişmeyen kapalı sürekli bir eğri var, neresi içerisi neresi dışarısı anlamak gördüğünüz gibi çok da kolay değil.

When_we_could_be_diving_for_pearls_LBJordan Eğri teoreminin asıl çetrefilli hale geldiği durumlar yukarıdaki resimden oldukça beter. Eğer eğrimizin türevi olsaydı, içeriyi dışarıyı eğriye teğet olan doğruların altını ve üstünü kullanarak bulabilirdik. Gel gör ki bazı sürekli eğrilerin hiç bir noktada türevi olmayabiliyor. Böyle en meşhur örnek Koch kartanesi:

koch Tümevarımsal bir süreçle elde edilen bir fraktal olan Koch kartanesinin resmine bakınca içi dışı neresi çok belli gibi görünüyor ama matematiksel olarak bunu tespit etmek hiç kolay değil. Yeri gelmişken söyleyeyim Koch kartanesinin alanı sonlu, çevresi ise sonsuzdur. Eğrilerin gariplikleri bununla da bitmiyor, bazı eğriler düzlemde alan kaplayabiliyor. En meşhuru aşağıda gördüğünüz Osgood eğrisi.

Osgood_curve.svgTipine bakınca eğri olduğuna, kendisiyle kesişmediğine inanmak zor ama öyle. Bunun içi neresi dışı neresi sorusuna cevap vermenin pek de kolay olmadığını görüyorsunuzdur. 1887 yılında nihayet Camille Jordan kanıtı buluyor ve herkesin ilk duyduğunda “ne var ki bunda” dediği bir önermeyle adını tarihe yazdırıyor.

Bazen en basit durumların içinde büyük zorluklar gizlidir. Kendi araştırmalarımda yaptığım önemli hataların hepsi “Açık ki …” ile başlayan cümlelerdeydi. Tertemiz bir berraklık ve kesinlik ile görmediğiniz hiç bir şey açık değildir, hatta bazen doğru bile olmayabilir.

 

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

*

Şu HTML etiketlerini ve özelliklerini kullanabilirsiniz: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>