Ünlü Çözülmemiş Soruları Ödev Olarak Vermek

complicated-drawing

Geçenlerde internette dolaşırken AMS’nin sitesindeki bloglardan birinde bu yazıyı gördüm. University of Kentucky’den Benjamin Braun, üniversitedeki öğrencilerine ödev olarak ünlü çözülmemiş problemleri verdiğini anlatmış ve gayet ilginç bir yazı olmuş. Bu yazıyı kısaca onun ağzından özetleyeceğim ve matematikte “açık” problem dediğimiz ve elbette daha tecrübeli, konuda ismini duyurmuş matematikçilerin çözmesini beklediğimiz bu gerçekten zor sorulara lisans öğrencilerinin nasıl tepki verdiğini anlatacağım.

“Lisans matematik öğrencilerine vermekten hoşlandığım ödevlerden biri çözülmemiş matematik problemleridir. Çözülmemiş problem, matematikte daha çok “açık” problem diye de bilinen, dünya üzerinde kimsenin nasıl çözüleceğini bilmediği problemdir. Benim favori çözülmemiş problemleri ise kolayca anlaşılabilenlerden. Şimdi bunların üç tanesini söyleyeceğim ve öğrenciler üzerindeki etkisini tartışacağım.

  1. Collatz Sanısı:

Pozitif bir $n$ sayısı verildiğinde, eğer tek ise $3n+1$’i hesaplayın, çift ise $n/2$’yi. Sonuçta gelen sayıyla aynı işlemi devam ettirin. Örneğin $1$’le başlarsanız aşağıdaki gibi bir dizi elde edersiniz,

$1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, . . .$

Bu dizi de sonsuza kadar böyle tekrar eder. Eğer $5$ ile başlarsanız; $5, 16, 8, 4, 2, 1, . . . $ yine aynı duruma dönersiniz. Çözülmemiş soru ise: Eğer herhangi bir pozitif tamsayıyla başlarsanız, sonunda yine 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, . . . döngüsüne girer misiniz? Matematikçilerin çoğu bunun doğru olduğuna inansa da, elimizde herhangi bir ispat yok. Bu sanı ilk kez 1937’de Lothar Collatz tarafından sorulmuştu.

  1. Erdös-Staruss Sanısı:

Birim kesirlerle ilgili etkileyici sorulardan biri şu: $n$’nin $2$’den büyük veya eşit olduğu her tamsayı için, $\frac{4}{n}$ ‘yi üç tane birim kesrin toplamı olarak yazabilir misiniz? Örneğin, $n=3$ için

$\frac{4}{3}=\frac{1}{1}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$

n=5 için,

$\frac{4}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}$

Yani en genel durumda $n\geq 2$ için aşağıdakini sağlayan a, b, c pozitif tamsayıları bulabilir miyiz;

$\frac{4}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}?$

Yine bir çok matematikçi cevabın evet olduğuna inanıyor, ispat olmasa da. Bu soru da ilk kez 1948’de Paul Erdös ve Ernst Strauss tarafından sorulmuştu.

  1. Lagarias’nın Riemann Hipotezinin Basit Versiyonu:

Bir pozitif n  tamsayısı için, $\sigma \left( n\right)$ ile n’yi bölen tamsayıların toplamını gösterelim. Örneğin, $\sigma \left( n\right) =1+2+3+6=12$.  $Hn $ ise n’inci harmonik sayıyı temsil etsin, yani

$H_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$

Üçüncü çözülmemiş sorumuz ise: Aşağıdaki eşitsizlik her  için doğru mudur?

$\sigma \left( n\right) =H_{n}+\ln \left( H_{n}\right) e^{H_{n}}$

2002 yılında, Jeffrey Lagarias bu problemin Riemann Hipotezine, (Riemann zeta fonksiyonun kompleks kökleriyle ilgili ünlü bir problem) eşdeğer olduğunu gösterdi. Tam da bu sebepten, eğer bunu çözerseniz Clay Matematik Enstitüsü sizi $ 1,000,000 ile ödüllendirecektir. Her ne kadar bu problem diğer ikisinden biraz daha karmaşık görünse de, aslında başlangıç analiz seviyesinde öğrenilen logaritma ve üstelden başka bir şey içermiyor.

Öğrenciler Üzerindeki Etkileri

Bu üç problemi, diğer bir çok bunun gibi problemi öğrencilerime derslerde ödev olarak verdim. Genellikle öğrencilere sorunun çözülememiş olduğunu söylemiyorum, biraz üzerinde çalıştıktan sonra gerçeği açıklıyorum. Böylece başlangıçta basit bir aritmetik problemi gibi gelen bir soru bir anda imkansıza yakına dönüşüyor ve bunun öğrenciler üzerinde bıraktığı etkiyi gözlemleyebiliyorum.

Bir çok öğrencim matematik bölümünde ve böyle çözülememiş bir matematik problemindeki verilen ifadeyi anlayabiliyor olmak onları şaşırtıyor. Ayrıca Collatz veya Erdös-Strauss Sanılarındaki gibi çok basit görünen ifadelerin çözülememiş olması da onları şoka uğratıyor- çünkü görünen kısmıyla orta-okul seviyesindeki problemler gibi görünüyorlar!

Öğrenciler üzerinde bıraktığı üç etkiden bahsedeceğim:

  1. Öğrenciler matematiğe atfedilen “cevap-bulma” zihniyetinden uzaklaşmaya zorlanıyor.
  2. Öğrenciler öğrenmedeki başarıyı anlamlı olma ve daha derin bir kavrayış şeklinde yeniden tanımlamaya zorlanıyor.
  3. Öğrenciler başarısız olmanın tamamen normal olduğu bir içerikte rahatça çalışabiliyor.

Böyle çözülmemiş soruları kullanmanın en ilginç yönlerinden biri de öğrencilerimin nasıl karşıladığını görmek oldu. Dersin sonunda öğrencilerime fikirlerini yazmalarını istediğin, yaklaşık üç sayfalık bir makale veriyorum ve hemen hemen hepsi bu açık problemlerle ilgili şeyler yazıyor. Bazıları üzerlerinde sonucu bulma konusunda hiç bir baskı olmadan, sadece yaratıcılıklarını kullanarak bu açık problemler üzerinde rahatça çalışmanın verdiği rahatlıktan bahsediyor, bazılarıysa böyle ümitsiz bir görev karşısındaki hayal kırıklıkları ve kızgınlarından. Her halükarda öğrenciler bu açık problemler üzerinde çalıştıkları kısmın dersin en kayda değer zamanlarından biri olduğunu söylüyor. Bu sebeple, her ne kadar matematiğin geliştiğini ve ilerlediğine şahit olmak beni mutlu etse de, umuyorum favori problemlerinden bir kaçı bir süre daha çözülmemiş kalmaya devam eder.”

Yazının orijinali için;

Famous Unsolved Math Problems as Homework

Yazıda bahsedilen ödevlerden birinin örneği için;

http://blogs.ams.org/matheducation/files/2015/04/LagariasProblem.pdf

Yazan: Hakan Doğa (Central European University)

1 yorum

Bir yanıt bırakın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.


*