Önüm Arkam Sağım Solum

“İnsanların ve hayvanların altı üstü farklıdır, önü ve arkası da farklıdır, ama sağı solu aynıdır, yani üç eksenden sadece biri simetri özelliğini taşır. Oysa, (kökleri de ağacın parçası olarak görürsek) ağaçlar her üç eksen için simetrik. Hiçbir işe yaramayan gözlemlerimden biri daha…”

Ali Nesin, 23 Eylül 2017 (Facebook)

Peki ya bu fark neden olabilir? Yıllar sonra, 2019’da 霧島 ormanlarında yürürken, bu soruyu düşündüğümü bile fark etmediğim bir anda dank etti. Cevap hareket! Bitki ile hayvan arasındaki en göze çarpan fark.

Bitki dediğin tohumunun düştüğü yere kazık çakmıştır, kök salmıştır. Gel desen gelmez, laftan anlamaz, yerinden oynamaz. Oysa biz hareket ederiz, içimiz dışımız kıpır kıpır. Güzel kokuya, yemeğe yönelir; tehlikeden kaçarız. İyiyi, doğruyu, güzeli ararız. Yediğimizin önümüzde yemediğimizin arkamızda olabilmesi için bir önümüz ve arkamız olması gerek. Ödümüz koptuğunda, ardımıza bile bakmadan kaçabilmemiz için, bir ardımızın olması gerek. İster güzele ve doğruya, isterse çirkinden ve korkunçtan olsun, hareketin bir doğrultusu var. Hareket yönü o kadar önemli ki, vücuttaki simetrinin o eksende kırılmasına, o eksen boyunca farklılaşmamıza sebep olmuş.

Önümüzü görebilme, güzele yürüyebilme ihtiyacından önümüz ile arkamız farklılaştı tamam. Ama ağaçlar da top gibi değil ki. Cevap yerçekimi! Soru “neden?”.

Yerçekimi hareketten de önce, ilk simetri kırıcı. Kuyruğumuzu dik tutabilmemiz, dik diye bir eksenin varolmasıyla mümkün. Yerçekimi yönünde ayağımız yere basıyor, ve o yere basacak ayakla başı ayrışıyor. Altımızla üstümüz farklıysa, ayaklar baş olmamışsa, ağacın gövdesi ile dalları birbirinden farklıysa, bunların müsebbibi yerçekimi (adına gökitimi desek de matematiksel olarak pek bir fark olmazdı). Yani hem ağaçlar hem de insanlar dikey eksende farklılaşmışız.

Hareket edemeyen ağaçlar, çalılar ve bilimum başka bitkiler sadece tek bir eksende farklılaşabilmiş. O ekseni sabitlersek, katı dönüşümlerden geriye ne kalıyor? Dikey eksen etrafındaki döndürmeler ve dikey eksenden geçen herhangi bir düzleme göre ayna yansıtmaları. Demem o ki bir ağacı alıp köküyle söküp, döndürüp yeniden dikseniz, ya da ağacın resmini çekip sağını sol solunu sağ yapsanız, ağacın altını üstüne getirmediğiniz sürece ağacın döndürüldüğünü anlamam, “ağaç bana bakıyordu ama şimdi sırt çevirdi, küstü mü acaba?” diyemem.

Bu arada neden döndürmelerle yansıtmaları ayrı ayrı anıyorum? Var mı öyle tüm döndürmelere göre simetrik olup da ayna yansıtması altında farklılaşan şekiller? Biraz düşünün, bu mümkün. Şu resimdeki rüzgargülü mesela.

ruzgargulu-page-001

Bu rüzgargülü merkezi etrafında doksan derecelik döndürmeler altında simetrik, ancak hiçbir ayna simetrisi yok.

 

Bir koordinat sisteminin başlangıç noktasını canlıya göbekten bağlayıp dikey doğrultu $z$ ekseniyle örtüştürürsek, bu tip oynatmalar
\[
\left[\begin{matrix} x \\ y\\ z \end{matrix}\right] \longmapsto\left[\begin{matrix}  A_{11} &A_{12} & 0 \\ A_{21} & A_{22} & 0\\ 0 &0& 1 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} x \\ y\\ z \end{matrix}\right]
\]
doğrusal dönüşümleri ile verilir. Burada $A = \left[ \begin{matrix} A_{11} &A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right]$, iki boyutlu uzayda mesafeleri koruyan bir dönüşüm. Doğrusal cebir dersi alanlar bunun $A^t A = I$ demek olduğunu, $A \in \mathbf{O}(2,\mathbb{R})$ olduğunu bilirler. Bunlara dik dönüşümler denir, ve iki boyutta tüm dik dönüşümleri bir çırpıda yazıvermek pek zor değildir:
\begin{align*}
\mathbf{O}(2,\mathbb{R})=& \left\{ A \text{ gerçel girdili 2’ye 2 matris} \middle| A^tA = I_{2 \times 2} \right\} \\
=& \left\{ \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\
\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \middle| \theta \in [0, 2\pi) \right\} \\ &\cup \left\{ \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta\\
\sin \theta & -\cos \theta \end{pmatrix} \middle| \theta \in [0, 2\pi) \right\}
\end{align*}

Yani $\mathbf{O}(2,\mathbb{R})$ kümesi merkez etrafında $\theta$ açılı döndürmeler ve $x$-ekseni ile $\theta/2$ açısı yapan doğruya göre yansıtmalardan oluşuyor.

Dikey eksene bir de hareketi ekleyince ne oluyor? Yerçekimine bir de hareket yönünde farklılaşmayı eklersek bir simetri daha kırıyoruz ve izin verilen simetriler azalıyor. Geriye iki doğrultuyu da — ve dolayısıyla o doğrultuların tanımladığı düzlemi–sabitleyen dönüşümler kalıyor. Kısacası geriye sadece sağ-sol ayna simetrisi kalıyor:
\[
\left[\begin{matrix} x \\ y\\ z \end{matrix}\right] \longmapsto\left[\begin{matrix}  1 &0 & 0 \\ 0 & \pm 1 & 0\\ 0 &0& 1 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} x \\ y\\ z \end{matrix}\right]
\]

Koordinat sistemini $x$-ekseni hareket doğrultusuna denk gelecek şekilde seçip $xz$-düzlemini sabitlersek, katı dönüşümlerden geriye sadece $y$-ekseninde yansıtma ya da yansıtmama seçeneği kalıyor.

Ali hoca paylaşımında bir de ağacın ortasından alt-üst ayna simetrisi olduğunu söylüyor, dallar ile kökleri birbirine benzetip. Hemen altındaki yorumlarda buna yapılan “ama yaprak!” itirazlarını görebilirsiniz, tekrarlamanın gereği yok. Yaprağı geçelim, yine de geometrik olarak bu simetrinin varlığını kabul etmek zor, kökler dalların çıktığı miktarda derine inmiyorlar. Öte yandan ağacın yapısını çizge gibi görürsek dallanma örüntüsündeki dal-kök benzerliğini özellikle bazı ağaçlarda inkar etmek de zor. Bu alt-üst ayna simetrisinin varlığını–velev ki kabul ettik–yine de ağacın yerçekimi doğrultusunda farklılaşmadığını göstermiyor, nitekim bu doğrultunun ortasındaki ana gövde ile her iki uç birbirlerinden farklı.

roots-diagrams

Ağaç köklerinin yerin altında derinlere dağıldığı yaygın yanlış bilgisini düzeltip kök sistemlerinin genellikle sığ ve dalların izdüşümünün epey ötesine ulaşabildiğini gösteren bu çizim https://sheffieldtreemap.wordpress.com/resources/tree-root-systems/ adresinden alınmıştır.

 

Bu tür bir simetriyi dikey doğrultunun kendisi için önemini koruduğu, ancak yerçekimine karşı mı, yoksa yerçekimi yönünde mi geliştiğini pek umursamayan canlıların evriminde görebiliriz. Farazi tabii, ben böyle bir canlı bilmiyorum. Ama olsaydı şu biçimde verilen dönüşümler altında simetrik kalırlardı:
\[
\left[\begin{matrix} x \\ y\\ z \end{matrix}\right] \longmapsto\left[\begin{matrix}  A_{11} &A_{12} & 0 \\ A_{21} & A_{22} & 0\\ 0 &0& \pm 1 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} x \\ y\\ z \end{matrix}\right]
\]
Ya da hareket eden ama hareket ettiği yönü umursamayan, evrimini duygusal düz simitte (flat torus) tamamlamış, “Senden uzaklaştıkça sana yaklaşıyorum” şiarını şiirlerine malzeme yapmış türlerin sadece sağ-sol değil, ön-arka simetrisi olmasını, simetri grubunun $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$ olmasını bekleriz.

Havuç gibi kök bitkilerinde üst alt simetrisinin hiç olmamasından bitkilerin yerçekimine göre hangi yöne gittiğini umursadığını görebiliyoruz. Yerçekimi doğrultusundaki “yukarı” yönü günışığının geldiği yön ile çakıştığından, açıkçası evrimin yukarı ile aşağı arasında ayrım yapmasına çok şaşırdığımı söyleyemem.

Yerçekimsiz ortamda yaşamış, evrilmiş ama hareket eden canlılar hayal edelim. Bu canlılar için sadece hareket yönü önemli olacağından, o eksen etrafında döndürmeler ve o ekseni içeren düzlemlere göre ayna yansıtmaları altında simetrik olmalarını beklerim. En azından bunun mümkün olması gerekir. Dünyada yerçekimsiz ortam yok, ama yerçekiminin daha az önemli olduğu durumlar var. Mesela suyun içerisi. Balıkların çoğunun kara hayvanlarından daha silindirik olmasını “yerçekimi evrimsel süreçte simetri kıran bir yön yaratır” hipotezimize delil olarak alabiliriz. Balıklarda üst alt tamamen gitmiş değil tabii, ama bunu da günışığının yarattığı farkla açıklayabilliriz. Su yüzeyinden gelen ışık hala bir balık için önemli, dolayısıyla dikey farklılaşma var.

Daha uç bir örnek için solucanı alalım: gözlerini toprak doyuramamış, varsa yoksa toprak. Solucanlar toprağın içerisinde yaşıyorlar ve gözleri yok. Işığı ve yerçekimini anlamıyorlar demiyorum, ama iki faktör de hayatlarında bizde olduğu kadar büyük bir rol oynamıyor. Beklediğimiz gibi hareket yönü etrafında silindirik simetriye de sahipler.

kamcili_hayvanearth_worm

Solucan ve kamçılı hayvan. Her ikisinde de kuyruğu ile başı arasındaki farklılaşmayı da görebilirsiniz. (Görsel: Wikimedia Commons)

$\mathbf{O}(2,\mathbb{R})$ simetrisine sahip denizanasının bir deniz hayvanı olması ve  gözlerinin olmaması da dolayısıyla şaşırtıcı değil. Şaşırmıyoruz, ama deliller biriktikçe, sevincimizi içimizde tutmakta zorlanıyoruz.

OLYMPUS DIGITAL CAMERA

Deniz Anası. (Görsel: Wikimedia Commons)

 

Yerçekiminin önemsiz olduğu bir ortamda pek hareket etmeyen, daha doğrusu ne yöne hareket ettiğini çok umursamayan, kendini hayatın (ya da dolaşım sisteminin) akışına bırakmış bir evrimsel süreçten geçen canlıların da küresel, yani $\mathbf{O}(3,\mathbb{R})$ simetrisine haiz olmaları mümkün. Resimdeki kamçılı hayvandan bile basit tekhücreli hayvanlarda olan da aşağı yukarı bu.

spherical_cells

Küresel hücereler

 

Son olarak, 4 boyutlu uzayda yerçekiml olan bir gezegen yüzeyinde hareket eden hayvanlar hayal edin. Bu yaratıkların simetri grubunun sonlu mu olmasını beklersiniz, yoksa sonsuz mu?

Not: Yazıyı yazarken Ali Hocanın paylaşımına yapılan yorumlara baktım ve Mehmet Emre Şancı’nın da bu farkın sebebini harekete bağladığını gördüm. Ancak bir farkla, denizanalarının döndürüsel simetrisini onların hareket yöntemlerine bağlamış. Ben ise hareket yöntemlerinde bizimkine nazaran ciddi bir fark göremiyorum. Denizanasının bol simetrili olmasını denizde yerçekiminin o kadar etkili olmamasına ve yukarıdan gelecek ışığı alacak gözleri olmamasına bağlıyorum. Yani dikey eksen bir denizanası için o kadar da mühim değil, bu yüzden sadece hareket yönünde farklılaşmışlar.

 

Yazan: Eren Mehmet Kıral (teknik sebeplerden yazar aşağıda farklı görünmektedir.)

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

*

Şu HTML etiketlerini ve özelliklerini kullanabilirsiniz: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>